Correlation And Regression

Updated: Jan 30, 2023

Correlation

“As one variable changes, so does another variable. This change can be direct or indirect. When there is a direct or indirect change in the value of any variable and there is a causal relationship between the two variables, it can be said that there is a correlation between the two variables.”

Types of correlation

(1)Positive Correlation:

When two variables change in the same direction, i.e. when the value of one variable increases the value of the other variable also increases or when the value of one variable decreases the value of the other variable also decreases and if there is a causal relationship between the two variables then there is a positive (+) correlation between them .

(2)Negative Correlation

When there is a change in the opposite direction between two variables i.e. when the value of one variable increases the value of the other variable decreases and when the value of one variable decreases the value of the other variable increases and when there is a causal relationship between the two variables it is said to be a negative correlation between the two variables.

Ways to measure correlation:

(1) Scatter diagram

(2) Karl Pearson’s method

(3) Spearman's rank correlation method

Scatter Diagram

In this way the values of one variable on the X-axis and the value of another variable on the Y-axis are shown as dots on the graph. A figure obtained in the form of dots in this way is called a diagonal figure. The correlation can be measured by looking at the position of the points shown on the diagonal figure.

Karl Pearson's method of multiplication:

1. If (X1,Y1),(X2,Y2)................. (Xn,Yn) Two variables are n pairs of values of X and Y and , . The medians of x and y respectively, q of x. v. Carlipierson took into account these measurements and gave the definition of a co-relational index as follows:

Ex. 1: Following table shows data of marks of 10 students in Statistics and Mathematics. Find the Correlation Coefficient between marks.

Ex. 2:Find the correlational index in the short way (with the help of the based mean) shown above based on the information in Ex, 1.:

Here, The assumed mean for the A = X series = 65

The assumed mean for the B = Y series = 132

Answer:The table to find the correlation

Probable Error

The following formula is used to find out the possible fault of the value of Carl Pearson's correlation;

In the formula above, taking the n intersection increases the value of n as the P.E. The cost of will decrease. The area of the correlation of the aggregate can also be determined from the probable fault. The value of the correlation of the aggregate

Lecture : 1

Lecture : 2

Spearman's Rank Correlation

Prof. Charles Spearman has suggested to give Ranks to the observations and obtained the correlation coefficient which is known as Spearman’s Rank Correlation Coefficient. This method is very useful when information can not be described in figures means information is emotional or in attributes or even after change of origin and scale if found difficult to obtain Correlation Coefficient.

Characteristics of number correlation:

1. When it is difficult to give a serial number when the value of the score is the same, the serial number is given as shown above.

2. When each value of d is zero then the value of ∑d2 will also be zero. Putting the value of ∑d2 in the formula as zero will make r = 1

3. As the difference between the numbers increases, the value of 'decreases, that is, decreases between the two variables.

4. Although the calculation is simple, it is not as accurate as Carl Pearson's correlation.

Interpretation of Correlation:

1. If the odd value of the correlation is greater than 6 (P.E) then the maximum correlation between the two variables is said to be.

2. If the potential fault is relatively small and if the correlation is less than 0.3, the correlation is said to be negligible.

3. If the potential fault is relatively small and the correlation is greater than 0.5, it is said to be an indicative correlation between the two variables.

Spearman's Correlation Coefficient Example : Video Lecture

Regression and Regression Lines / Equations

What is Regression?

If there is an almost perfect correlation between two related variables then the points on the diagonal figure lie close to a straight line or a curved line. This straight line or curve represents the relationship between two variables in an almost mathematical form. Thus, Regression is an almost mathematical form of a relationship between two variables.

Why do we have two Regression lines?

If there is a correlation between two variables then the points on the scatter diagram are lying close to one of the lines. Now let us draw a line passing through these points in such a way that the sum of the squares of the perpendicular distances between the points and that line is minimal. Such a line is called the line of best fit. This line represents the best straightforward relationship between two variables. The way to draw this line is known as ‘Least Square Method'.

The best implementation line can be drawn in two ways. If we draw the application line in such a way that the sum of the squares of the perpendicular parallel to the y axis between the points and the application line is minimized, then the best application line obtained is called the regression line of Y to X. This line gives the best estimate of the value of Y for any given X

In the same way if we draw the array line in such a way that the sum of the squares of the parallel perpendiculars to the axis between the points and the apparatus line is minimized, then the best application line obtained is called the regression line of X on Y. This line gives the best estimate of the value of X for any given value of Y. Thus the best alignment line can be drawn in two ways.

Therefore, we always get two regression lines.

Best Appropriation Line and Fixed Relationship Lines:

Regression Coefficient and Regression Lines / Equations

Ex.3: Get the equations of the fixed relation line between X and Y from the following information and find the predicted value of Y when X = 50:

સહસંબંધ :

વ્યવહારમાં બે ચલ વચ્ચે અમુક પ્રકારનો સંબંધ જોવા મળે છે. દા.ત. વરસાદ સારો થાય તો અનાજ સારું પાકે, જેમ ઉષ્ણતામાન વધે તેમ વસ્તુનું કદ વધે, વ્યક્તિની આવક વધે તો ખર્ચ વધે, આમ, વરસાદ અને અનાજ, કિંમત વધે તો માંગ ઘટે અને કિંમત ઘટે તો પુરવઠો ઘટે, ઉષ્ણતામાન અને વસ્તુનું કદ, આવક અને ખર્ચ, કિંમત અને માંગ વચ્ચે સંબંધ જોવા મળે છે.

“એક ચલમાં કંઇક ફેરફાર થાય એની સાથે સાથે બીજા ચલમાં ફેરફાર થતો હોય છે. આ ફેરફાર પ્રત્યક્ષ કે પરોક્ષ હોય શકે છે. જયારે કોઇપણ ચલ કિંમતમાં પ્રત્યક્ષ કે પરોક્ષ ફેરફાર થાય અને તે બંને ચલ વચ્ચે કાર્યકારણનો સંબંધ હોય તો બંને ચલ વચ્ચે સહસંબંધ છે એમ કહી શકાય.”

સહસંબંધ ના પ્રકાર :

સહ્સંબંધના મુખ્યત્વે બે પ્રકાર છે. (૧) ધન સહસંબંધ (૨) ઋણ સહસંબંધ

(1) ધન સહસંબંધ :

જયારે બે ચલ વચ્ચે સમાન દિશામાં ફેરફાર થાય, એટલે કે જયારે એક ચલની કિંમત વધે ત્યારે બીજા ચલની કિંમત વધે અથવા એક ચલની કિંમત ઘટે ત્યારે બીજા ચલની કિંમત ઘટે અને જો બંને ચલ વચ્ચે કાર્યકારણનો સંબંધ હોય તો તેમની વચ્ચે ધન (+) સહસંબંધ છે તેમ કહેવાય. દા.ત. (૧) કિંમત અને પુરવઠો. કિંમત વધે તો પુરવઠો વધે અને કિંમત ઘટે તો પુરવઠો ઘટે. (૨) આવક અને બચત. આવક વધે તો બચત વધે અને આવક ઘટે તો બચત ઘટે. અહીં બંને ચલમાં થતાં ફેરફારો એક જ દિશામાં થાય છે. આમ જો બે ચલમાં થતાં ફેરફારો સમાન દિશામાં થતાં હોય અને તે ફેરફારો સમપ્રમાણમાં હોય તો તેમની વચ્ચે સંપૂર્ણ ધન સહસંબંધ કહેવાય.

(2) ઋણ સહસંબંધ :

જયારે બે ચલો વચ્ચે વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરફાર થાય એટલે કે જયારે એક ચલની કિંમત વધે ત્યારે બીજા ચલની કિંમત ઘટે અથવા એક ચલની કિંમત ઘટે ત્યારે બીજા ચલની કિંમત વધે અને બંને ચલો વચ્ચે કાર્યકારણનો સંબંધ હોય ત્યારે બંને ચલ વચ્ચે ઋણ સહસંબંધ છે તેમ કહેવાય.દા.ત. (૧) માંગ અને કિંમત. જો વસ્તુની કિંમત વધે તો માંગ ઘટે અને જો કિંમત ઘટે તો માંગ વધે છે. આમ બંને ચલમાં થતી વધઘટ વિરુદ્ધ દિશામાં છે. (૨) ડ્રાઈવરની ઉંમર અને અકસ્માતની સંખ્યા. (૩) વાયુનું દબાણ અને કદ. વગેરે વચ્ચે ઋણ સહસંબંધ છે. આમ જો ચલમાં થતાં ફેરફાર વિરુદ્ધ દિશામાં થતાં હોય અને તે ફેરફારો વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય તો તેમની વચ્ચે સંપૂર્ણ ઋણ સહસંબંધ કહેવાય.

સહ્સંબંધાંક માપવાની રીતો :

(1) વિકીર્ણ આકૃતિ (Scatter diagram)

(2) કાર્લ પિયરસનની રીત.

(3) સ્પિયરમેનની ક્રમાંક સહ્સંબંધાંકની રીત

(1) વિકીર્ણ આકૃતિ :

વિકીર્ણ આકૃતિની રીત દ્વારા આપણે બે ચલો વચ્ચેનો સહસંબંધ નક્કી કરી શકીએ છીએ. આ સહસંબંધ પૂર્ણ ધન છે કે ઋણ અને આંશિક ધન છે કે ઋણ તે નક્કી કરી શકાય છે.

આ રીતમાં X- અક્ષ ઉપર એક ચલની કિંમતો અને Y- અક્ષ ઉપર બીજા ચલની કિમત લઇ આલેખપત્ર ઉપર બિંદુઓ રૂપે દર્શાવવામાં આવે છે. આ રીતે બિંદુઓ રૂપે મળતી આકૃતિને વિકીર્ણ આકૃતિ કહેવામાં આવે છે. વિકીર્ણ આકૃતિ પર દર્શાવાયેલા બિંદુઓની સ્થિતિ જોઇને નીચે પ્રમાણે સહસંબંધ માપી શકાય છે.

જો વિકીર્ણ આકૃતિ પરનાં બિંદુઓ ડાબી તરફના નીચેના ખૂણાથી જમણી તરફના ઉપરના ખૂણા તરફ જતી સીધી સુરેખા પર પડેલાં હોય તો બે ચલ વચ્ચે સંપૂર્ણ ધન સહસંબંધ છે.(r=+1) તેવું નક્કી કરી શકાય.(આકૃતિ :1)

જો વિકીર્ણ આકૃતિ પરનાં બિંદુઓ જમણી તરફના નીચેના ખૂણાથી ડાબી તરફના ઉપરના ખૂણા તરફ જતી સીધી સુરેખા પર પડેલા હોય તો બે ચલ વચ્ચે સંપૂર્ણ ઋણ સહસંબંધ છે તેમ કહેવાય.(r= -1). (જુઓ આકૃતિ :2)

જો વિકીર્ણ આકૃતિ ઉપર પડેલા બિંદુઓ ડાબી તરફ ઢળતી રેખાની આજુબાજુ નજીકમાં પડતાં હોય તો બે ચલ વચ્ચે અંશતઃ ધન સહસંબંધ છે તેમ કહેવાય.(જુઓ આકૃતિ :3)

જો વિકીર્ણ આકૃતિ ઉપર પડેલા બિંદુઓ જમણી તરફ ઢળતી રેખાની આજુબાજુ નજીકમાં પડતાં હોય તો બે ચલ વચ્ચે અંશતઃ ઋણ સહસંબંધ કહેવાય છે.(આકૃતિ : 4)

જો વિકીર્ણ આકૃતિ પરનાં બિંદુઓ ચારેય દિશામાં અસ્તવ્યસ્ત પડેલા હોય તો બે ચલ વચ્ચે સહસંબંધનો અભાવ છે અથવા બે ચલ વચ્ચે સહસંબંધ શૂન્ય છે તેમ કહેવાય. (આકૃતિ : 5)

આમ, વિકીર્ણ આકૃતિ પરથી બે ચલો વચ્ચે સહસંબંધ છે કે નહિ અને કયા પ્રકારનો સહસંબંધ છે, તે જ જાણી શકાય છે. સહસંબંધના પ્રમાણ વિષેનું ચોક્કસ માપ મેળવવું હોય તો આ પદ્ધતિ ઉપયોગી નીવડતી નથી.

સંભવિત દોષ (Probable Error) :

એક જ સમષ્ટિમાંથી જુદા જુદા નિદર્શો લઇ તેનો સહ્સંબંધાંક શોધીએ તો તેની કીમત જુદી જુદી આવે છે. આ કિંમતો જુદી આવવાનું કારણ નિદર્શન પદ્ધતિને લઈને થતી ભૂલોની અસર છે. સમષ્ટિના સહ્સંબંધાંકની કીમત અને સમષ્ટિ માંથી યદચ્છ નિદર્શન પદ્ધતિથી પસંદ કરેલા નિદર્શોના સહ્સંબંધાંકની કિંમત વચ્ચે તફાવત આવે છે. આ તફાવતોની સરેરાશ શોધવાની સંભવિત દોષનું મુલ્ય મળે છે. કાર્લ પિયરસનના સહ્સબંધાંકની કિંમત સંભવિત દોષ જાણવા નીચેનું સૂત્ર ઉપયોગમાં લેવાય છે;

Lecture : 1

Lecture : 2

(3) સ્પિયરમેનનો ક્રમાંક સહસંબંધ (Rank Correlation):

પ્રો. ચાર્લ્સ સ્પિયરમેન બે ચલના પ્રાપ્તાંકોને ક્રમ આપીને તે પરથી જે સહસંબંધાક શોધ્યો તેને સ્પિયરમેનનો ક્રમાંક સહસંબંધ કહેવામાં આવે છે. ઊગમબિંદુ અને સ્કેલમાં ફેરફાર કરવા છતાં પણ સહસંબંધાકની ગણતરી અઘરી બનતી હોય, માહિતીને સંખ્યાત્મક રૂપે દર્શાવી શકાતી ન હોય અર્થાત્ ભાવાત્મક કે ગુણાત્મક માહિતી હોય તો તેમની વચ્ચેનો સહસંબંધાક શોધવા માટે સ્પિયરમેનનો ક્રમાંક સહસંબંધ ઉપયોગી છે.

દા. ત., વિદ્યાર્થીઓની હોશિયારીને સંખ્યાત્મક રૂપે દર્શાવી ન શકાય પરંતુ હોશિયારી પ્રમાણે ક્રમ આપી શકાય. જો દશ વિદ્યાર્થીઓએ આંકડાશાસ્ત્ર અને ગણિતશાસ્ત્રમાં મેળવેલા ગુણ આપ્યા હોય તો દરેક વિદ્યાર્થીને આંકડાશાસ્ત્ર અને ગણિતશાસ્ત્રમાં મેળવેલ ગુણ પ્રમાણે ક્રમાંક આપી શકાય. આ ક્રમાંક વચ્ચેનો સહસંબંધાક તે વિષયો વચ્ચેનો સહસંબંધાક જેટલો થશે.

આ રીત પ્રમાણે બે ચલના પ્રાપ્તાંકોને ઊતરતા ક્રમમાં ક્રમ નંબર આપવામાં આવે છે, સૌથી મોટા પ્રાપ્તાંકોને ક્રમ નંબર 1 તેથી નાના પ્રાપ્તાંકને ક્રમ નંબર 2, તેનાથી નાના પ્રાપ્તાંકને ક્રમ નંબર 3... આમ, બંને ચલના પ્રાપ્તાંકોને અલગ અલગ ક્રમ નંબરો આપવામાં આવે છે, પરંતુ જ્યારે પ્રાપ્તાંકોની કિંમતો સરખી આવે ત્યારે ક્રમ નંબર આપવામાં મુશ્કેલી આવે છે. આવા સમયે સમાધાનભર્યો સરેરાશનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. દા. ત., જો ત્રીજો અને ચોથો ક્રમ નંબર આપવામાં મુશ્કેલી આવતી હોય તો 3 અને 4ની સરેરાશ કિંમત 3.5ને બંને પ્રાપ્તાંકોના ક્રમ નંબર આપવામાં આવે છે. ત્યાર પછીના પ્રાપ્તાંકને ક્રમ નંબર 5 આપવામાં આવે છે. જો 3 પ્રાપ્તાંકોની કિંમત એકસરખી આવતી હોય તો ત્રણે પ્રાપ્તાંકને આપવામાં આવતા ક્રમનો મધ્યક શોધી તે પ્રમાણે ક્રમાંક આપવામાં આવે છે. દા.ત., એકસરખા 3 પ્રાપ્તાંકોનો ક્રમ નંબર 4, 5, 6 આપવાને બદલે ત્રણેને ક્રમ નંબર 5 આપવામાં આવે છે. પછીના પ્રાપ્તાંકને ક્રમ નંબર 7 આપવામાં આવે છે.

આ રીત પ્રમાણે બંને ચલના દરેક પ્રાપ્તાંકને ક્રમ નંબર આપ્યા પછી દરેક જોડકાંના ક્રમ નંબરનો તફાવત (d) શોધવામાં આવે છે. આ પ્રત્યેક તફાવતનો વર્ગ (d2) શોધીને તફાવતનો વર્ગનો સરવાળો (∑d2) શોધવામાં આવે છે. ત્યારબાદ નીચે પ્રમાણેના સ્પિયરમેનના ક્રમાંક સહસંબંધનું સૂત્ર વાપરીને સહસંબંધાક શોધવામાં આવે છે.

ક્રમાંક સહસંબંધની ખાસિયતો :

1. જ્યારે પ્રાપ્તાંકની કિંમત એકસરખી હોય ત્યારે ક્રમ નંબર આપવામાં મુશ્કેલી આવે છે તે વખતે ઉપર દર્શાવ્યા પ્રમાણે ક્રમ નંબર આપવામાં આવે છે.

2. જ્યારે d ની દરેક કિંમત શૂન્ય થાય ત્યારે ની કિંમત પણ શૂન્ય થશે. સૂત્રમાં ની કિંમત શૂન્ય મૂકતાં r = 1 થશે. આથી એવું અર્થઘટન થઈ શકે કે જ્યારે પ્રાપ્તાંકોને સમાન ક્રમ મળતા હોય તો તે ચલ વચ્ચે પૂર્ણ ધન સહસંબંધ છે એમ કહી શકાય, આથી ઊલટું જે એક ચલ માટેના ક્રમાંકોના ક્રમ બીજા કરતાં તદ્ઘ ઊલટા આવે તો તે ચલ વચ્ચે સંપૂર્ણ ઋણ સહસંબંધ છે તેમ કહી શકાય.

3. જેમ ક્રમાંકો વચ્ચેનો તફાવત વધે તેમ ' ની કિંમત ઘટે એટલે કે બે ચલ વચ્ચે ઓછો થશે તેમ કહી શકાય.

4. ગણતરી સરળ હોવા છતાં કાર્લ પિયર્સનના સહસંબંધાક જેટલો ચોક્કસ નથી.

સહ્સંબંધાંક નું અર્થઘટન :

જો સહ્સંબંધાંક + 1.0 હોય તો તે સંપૂર્ણ ધન છે તેમ કહેવાય અને જો તે -1.0 હોય તો સંપૂર્ણ ઋણ છે તેમ કહેવાય અને તેની કિંમત શૂન્ય હોય તો સહસંબંધનો અભાવ છે તેમ કહેવાય. આ ઉપરાંત નીચેના કેટલાક નિયમો ધ્યાનમાં રાખવા જોઈએ.

1. જો સહ્સંબંધાંકનું બૈજિક ચિહ્ન ધન હોય તો બે ચલ વચ્ચે સહસંબંધ ધન અને ઋણ હોય તો સહસંબંધ ઋણ આવશે તેમ કહેવાય.

2. જો સંભવિત દોષની કિંમત સહ્સંબંધાંકની વિચિહ્ન કિંમત કરતાં વધુ હોય તો બે ચલ વચ્ચે સહસંબંધનો અભાવ છે તેમ કહેવાય.

3. જો સહ્સંબંધાંકની વિચિહ્ન કીમત 6(P.E) કરતા મોટી હોય તો બે ચલ વચ્ચે વધુમાં વધુ પ્રમાણમાં સહસંબંધ છે તેમ કહેવાય.

4. જો સંભવિત દોષ પ્રમાણમાં નાનો હોય અને જો સહ્સંબંધાંક 0.3 થો ઓછો હોય તો સહસંબંધનું અસ્તિત્વ નહિવત છે તેમ કહેવાય.

5. જો સંભવિત દોષ પ્રમાણમાં નાનો હોય અને સહ્સંબંધાંક 0.5 થી વધુ હોય તો બે ચલો વચ્ચે સૂચક સહસંબંધ છે તેમ કહેવાય.

ઉ.દા. 1: 10 વિદ્યાર્થીઓએ આંકડાશાસ્ત્ર અને ગણિતશાસ્ત્રમાં મેળવેલા ગુણ નીચે પ્રમાણે છે. તે ઉપરથી બંને વિષયના ગુણ વચ્ચેનો સહ્સંબંધાંક શોધો :

ઉ.દા. 3: ઉદા, 2 માં આપેલી માહિતીને આધારે ઉપર દર્શાવેલી ટૂંકી રીતે (આધારિત મધ્યકની મદદથી) સહસંબંધાંક શોધો :

અહી A = X શ્રેણી માટે ધારેલો મધ્યક = 65

B = Y શ્રેણી માટે ધારેલો મધ્યક = 132

જવાબ : સહસંબંધાંક શોધવાનો કોઠો

ઉદા. 7: 5 વિદ્યાર્થીઓના અર્થશાસ્ત્ર અને આંકડાશાસ્ત્રના ગુણો કૌસમાં અનુક્રમે આપ્યા છે :

(40, 70), (45, 65), (50, 60), (55,55), (60, 50)

કાર્લ પિયર્સન અને સ્પીયરમેનની રીતો અપનાવી આ પાંચ વિદ્યાર્થીઓના અર્થશાસ્ત્ર અને આંકડાશાસ્ત્રના ગુણો વચ્ચેનો સહસંબંધાક શોધો :

જવાબ : કાર્લ પિયર્સનની રીતે સહસંબંધાક શોધવાનો કોઠો

નિયત સંબંધ

નિયત સંબંધ એટલે શું ?

આપણે જોઈ ગયા કે એક ચલમાં કંઇક ફેરફાર થાય અને સાથે સાથે બીજા ચલમાં પણ ફેરફાર થતો હોય તથા બંને ચલ વચ્ચે કાર્યકારણનો સંબંધ હોય તો બે ચલ વચ્ચે સહસંબંધ છે તેમ કહેવાય. આમ સહસંબંધ દ્વારા બે ચલ વચ્ચે કેટલો અને કયા પ્રકારનો (ધન કે ઋણ) સંબંધ છે તે જાણી શકાય છે, પરંતુ એક ચલ બીજા ચલ ઉપર કેટલી અસર કરે છે અથવા એક ચલ બીજા ચલ ઉપર કેટલો પ્રકાશ ફેંકે છે તે જાણવું હોય તો સહસંબંધના અભ્યાસથી જાણી શકાતું નથી. દા.ત. વ્યક્તિની ઊંચાઈમાં અમુક સે.મી. વધારો થતાં તેનાં વજનમાં કેટલો વધારો થશે ? તે જ રીતે એક ચલની આપેલી કિંમત માટે બીજા ચલની કેટલી કિંમત થશે ? આ માહિતી માત્ર સહસંબંધના અભ્યાસથી જાણી શકાતી નથી, પરંતુ તે જાણવા માટે નિયત સંબંધની રીતનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

જો બે સંબંધિત ચલ વચ્ચે લગભગ સંપૂર્ણ સહસંબંધ હોય તો વિકીર્ણ આકૃતિ પરનાં બિંદુઓ સીધી રેખા કે વક્ર રેખાની આજુબાજુ નજીકમાં પડેલાં હોય છે. આ સીધી રેખા કે વક્રરેખા બે ચલ વચ્ચેના સંબંધનું લગભગ ગણિતીય સ્વરૂપમાં દર્શાવે છે. આમ, નિયત સંબંધ એટલે બે ચલ વચ્ચેના સંબંધનું લગભગ ગણિતીય સ્વરૂપ.

નિયત સંબંધના અભ્યાસથી એક ચલની કિમતમાં થતાં ફેરફારથી બીજા ચલની કિમતમાં શું ફેરફાર થશે અથવા તેની કેટલી અસર થશે તે જાણી શકાય છે. તે માટે નિયત સંબંધ સમીકરણનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. નિયત સંબંધ સમીકરણો દ્વારા એક ચલની આપેલી કિંમત માટે તેને સંબંધિત બીજા ચલની કિમતનું આગણન કરી શકાય છે.

શ્રેષ્ઠ અન્વાયોજન રેખા અને નિયત સંબંધ રેખાઓ :

જો બે ચલ વચ્ચે સહસંબંધ હોય તો વિકીર્ણ આકૃતિ પરનાં બિંદુઓ કોઈ એક રેખાની આજુબાજુ નજીકમાં પડેલા હોય છે. હવે આ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા એવી રીતે દોરીએ કે જેથી બિંદુઓ અને તે રેખા વચ્ચેના લંબઅંતરોના વર્ગનો સરવાળો ઓછામાં ઓછો થાય તો તેવી રેખાને શ્રેષ્ઠ અન્વાયોજન રેખા (Line of best fit) કહેવામાં આવે છે. આ રેખા બે ચલ વચ્ચેનો શ્રેષ્ઠ સુરેખ સંબંધ રજુ કરે છે. આ રેખા દોરવાની રીત 'ન્યુનતમ વર્ગની રીત' થી ઓળખાય છે.

શ્રેષ્ઠ અન્વાયોજન રેખા બે રીતે દોરી શકાય છે. જો બિંદુઓ અને અન્વાયોજન રેખા વચ્ચેના Y ધરીને સમાંતર લંબઅંતરોના વર્ગનો સરવાળો ન્યુનતમ થાય તે રીતે અન્વાયોજન રેખા દોરીએ તો તેથી મળતી શ્રેષ્ઠ અન્વાયોજન રેખાને Y ની X પરની નિયત સંબંધ રેખા કહેવામાં આવે છે. આ રેખા X ની આપેલી કોઈપણ માટે Y ની કિમતનું શ્રેષ્ઠ અનુમાન આપે છે.

તે જ રીતે જો બિંદુઓ અને અન્વાયોજન રેખા વચ્ચેના X ધરીને સમાંતર લંબઅંતરોના વર્ગનો સરવાળો ન્યુનતમ થાય તે રીતે અન્વાયોજન રેખા દોરીએ તો તેથી મળતી શ્રેષ્ઠ અન્વાયોજન રેખાને X ને Y પરની નિયત સંબંધ રેખા કહેવામાં આવે છે. આ રેખા Y ની આપેલી કોઈપણ કિંમત માટે X ની કિમતનું શ્રેષ્ઠ અનુમાન આપે છે. આમ શ્રેષ્ઠ અન્વાયોજન રેખા બે રીતે દોરી શકાય છે. તેથી બે અને માત્ર બે જ નિયત સંબંધ રેખાઓ મળે છે.

[નોંધ: Y ની X પરની નિયત સંબંધ રેખામાં Xને નિરપેક્ષ ચલ અને Yને આધારિત ચલ તથા X ની Y પરની નિયત સંબંધ રેખામાં Yને નિરપેક્ષ ચલ અને Xને આધારિત ચલ કહેવામાં આવે છે.]

ઉદા. 2: બે સંબંધિત શ્રેણીઓ x અને y વચ્ચેનો સહસંબંધાક 0.66 છે. અને તેમના મધ્યકો અનુક્રમે 72 અને 15 છે. જો તેમના પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે 12.6 અને 4.2 હોય તો

(1) બે નિયતસંબધ રેખાઓ શોધો;

(2) જયારે x = 80 હોય તો y ની આગણિત કિંમત શોધો ; અને

જયારે y = 20 હોય તો x ની આગણિત કિંમત શોધો